Matematyka niestandardowa

Matematyka niestandardowa (w tym niestandardowa analiza matematyczna oraz niestandardowa teoria mnogości) utworzona została w 1960 roku przez Abrahama Robinsona. Zwana też analizą niestandardową jest działem matematyki. Przewiduje się, że może ona nabrać decydującego znaczenia dla dalszego rozwoju fizyki.

Niestandardowa analiza matematyczna

Robinson opracował nowe ujęcie klasycznej analizy matematycznej, nazwane przez niego „analizą niestandardową”. Pozwoliła ona na ścisłe i logicznie bez zarzutu zdefiniowanie takich pojęć, jak wielkości nieskończenie małe i nieskończenie duże. Pojęciami tymi posługiwali się też Gottfried Leibniz oraz Izaak Newton, jako twórcy rachunku różniczkowego oraz całkowego.

Abraham Robinson (1918–1974), to matematyk żydowskiego pochodzenia, od lat sześćdziesiątych przebywający w Ameryce. Zajmował się też matematyką stosowaną, analizą, algebrą oraz logiką matematyczną. Wniósł też duży wkład w opracowanie teorii modeli. Interesował się ponadto historią filozofii i filozofią matematyki, być może dlatego zainteresował się problemem, który zaprzątał umysły Leibniza i Newtona.

Niestandardowa teoria mnogości

Z kolei Petr Vopĕnka (1935–2015) opracował niestandardową alternatywną teorię mnogości. Była to teoria alternatywna do teorii mnogości Georga Cantora. Czeski matematyk interesował się też filozofią matematyki; pełnił również funkcję ministra edukacji. Matematyka klasyczna (standardowa), a w szczególności analiza, w swoich zastosowaniach fizycznych opiera się na założeniu, że czasoprzestrzeń tworzy kontinuum. Czyli zbiór ciągły.

Zgodnie z tym założeniem, pomiar coraz mniejszych przedziałów przestrzennych oraz czasowych jest ograniczony jedynie ograniczoną czułością przyrządów pomiarowych. A zasadniczo podział na coraz mniejsze części mógłby przebiegać w nieskończoność. Rachunek różniczkowy i całkowy stanowi matematyczny model tego założenia.

Matematyka niestandardowa rezygnuje z tego modelu, zakładając nieciągłą, dyskretną strukturę czasoprzestrzeni. Z uwagi na idee kwantowe, rozwijane nie tylko w ramach mechaniki kwantowej i kwantowej teorii pola, lecz także w teorii superstrun, może się okazać, że klasyczna (standardowa) analiza matematyczna oparta na rachunku różniczkowym i całkowym, zakładająca ciągłość czasu i przestrzeni, nie nadaje się do adekwatnego opisu zjawisk submikroświata przebiegających na tle dyskretnej (składającej się z kwantów) czasoprzestrzeni.

Matematyka intuicjonistyczna

Pewnym interesującym zjawiskiem w rozwoju matematyki było powstanie matematyki oraz logiki intuicjonistycznej. Ta ostatnia nie respektuje zasady wyłączonego środka oraz pewnych innych środków dowodowych matematyki klasycznej. A to prowadziło do istotnego okrojenia matematyki. Była ona dziełem dwóch holenderskich matematyków i logików. Pierwszy, to Luitzen E. J. Brouwer (od 1912 r. prof. Uniw. Amsterdamskiego), który opracował jej podstawy matematyczne. Drugi z kolei, to Arend Heyting (od 1938 r. prof. Uniw. Amsterdamskiego), który stworzył i zaksjomatyzował intuicjonistyczną logikę.

Szkoła burbakistów

Na koniec warto odnotować działalność szkoły matematycznej, która grupowała przede wszystkim matematyków francuskich, począwszy od ok. 1935 r. Z tego względu, że szkoła ta występowała pod pseudonimem: Nicolas Bourbaki, została nazwana szkołą burbakistów. Opublikowana przez burbakistów w latach 50. i 60. seria tekstów akademickich wywarła ogromny wpływ na sposób nauczania matematyki na całym świecie.

Według burbakistów matematyka to nauka o strukturach, rozumianych jako obiekty matematyczne definiowane w terminach nieformalnej teorii mnogości. Wśród nich wyróżnia się – jako struktury podstawowe – struktury algebraiczne, porządkowe oraz topologiczne. Natomiast do formalnych teorii mnogości zalicza się zaksjomatyzowane ujęcia tej teorii, z których najbardziej znane są teoria mnogości w ujęciu Zermelo – Fraenkla – Skolema oraz w ujęciu J. v. Neumanna – Bernaysa – Gödla.

Ilustracje

Abraham Robinson – źródlo: Wikimedia Commons
Petr Vopeňka – źródło: Wikimedia Commons

Zob. Wpisy: Rozwój matematyki: system dedukcyjny, teoria mnogości
Podstawy matemayki: David Hilbert, Kurt Gödel
oraz Kategorię: Matematyka