Podstawy matematyki: David Hilbert, Kurt Gödel

David Hilbert w fundamentalnym dziele Podstawy geometrii (1899 r.) podał pełną aksjomatykę geometrii Euklidesa. Pokazał jednocześnie, że system samego Euklidesa (wyłożony w jego Elementach) zawierał cały szereg założeń ukrytych (implicite), nie sformułowanych dotąd ani przez samego twórcę, ani przez jego następców.

Metamatematyka

Podobnie Richard Dedekind oraz Giuseppe Peano dokonali aksjomatyzacji arytmetyki liczb naturalnych. Zasługą Hilberta jest też stworzenie nowego działu matematyki zwanego metamatematyką. Jest to nauka o podstawach matematyki. Można ją też nazwać nauką o matematyce. Zajmuje się ona badaniem systemów dedukcyjnych. Hilbert określił ją jako naukę o dowodzeniu matematycznym (jako teorię dowodów sformalizowanych), a samą matematykę nazwał systemem formuł dowodliwych.

David Hilbert jest też twórcą pojęcia przestrzeni Hilberta. Przestrzeń Hilberta, jej autor wprowadził do nauki, na przełomie XIX i XX w. Stanowi ona naturalne uogólnienie przestrzeni euklidesowej. Znajduje też szerokie zastosowanie w matematyce (w teorii funkcji rzeczywistych, teorii równań różniczkowych i całkowych) oraz w fizyce (w mechanice kwantowej oraz kwantowej teorii pola). Stanowi ona jedno z podstawowych pojęć analizy funkcjonalnej.

Jego badania w zakresie

• teorii równań różniczkowych,
• podstaw matematyki,
• podstaw fizyki matematycznej,
• teorii niezmienników,
• teorii liczb oraz
• rachunku wariacyjnego

wywarły ogromny wpływ na rozwój współczesnej matematyki.

“Problemy Hilberta”

“Problemy Hilberta”, to 23 główne nierozwiązane problemy, przed którymi stoi matematyka. Sformułował je niemiecki matematyk David Hilbert, profesor Uniwersytetu w Getyndze, na II Międzynarodowym Kongresie Matematyków, w 1900 r. w Paryżu.

Rozwiązanie (a zwłaszcza rozwiązywanie) tych problemów powinno – zdaniem Hilberta – istotnie ożywić badania matematyczne.

I rzeczywiście wiele dyscyplin matematycznych powstało w związku z ich rozwiązywaniem. Przy tym „problemy Hilberta” okazały się heurystycznie bardzo płodne: wiele z nich zostało rozwiązanych, co doprowadziło jednak do nowych problemów. W ten sposób „problemy Hilberta” odegrały wielką rolę w kształtowaniu współczesnej problematyki badawczej w matematyce.

Zdaniem Hilberta, w matematyce nie mamy do czynienia z żadnym ignorabimus (tym, co niepoznawalne), gdyż każdy (dobrze określony) problem matematyczny daje się wcześniej czy później rozwiązać.

W tym celu należy jedynie całą matematykę skodyfikować i sformalizować, tzn. nadać jej ścisłą postać formalną, postać zaksjomatyzowanych i sformalizowanych systemów dedukcyjnych. W systemach tego rodzaju z twierdzeń wyjściowych (aksjomatów) oraz definicji daje się za pomocą reguł logiki wyprowadzić wszystkie twierdzenia matematyczne.

Próba połączenia matematyki z logiką

Ważnym wydarzeniem w matematyce było ukazanie się w latach 1910–1913 fundamentalnego trzytomowego dzieła dwóch matematyków, logików i filozofów angielskich Bertranda Russella oraz Alfreda Northa Whiteheada, zatytułowanego Principia Mathematica. Było to dzieło z zakresu podstaw matematyki. Autorzy zmierzali do połączenia logiki z matematyką, zgodnie z założeniami logicyzmu, dążącego do wyprowadzenia całej matematyki z logiki.

Odkrycia Gödla 

Od razu warto odnotować, że odwołując się do tego dzieła genialny matematyk austriacki Kurt Gödel (od 1940 r. w USA, od 1953 r. profesor Instytutu Studiów Zaawansowanych w Princeton) na początku lat 30-tych XX w. dokonał trzech wielkich odkryć. Wykazał, że – wbrew powszechnym przekonaniom – wszystkie systemy dedukcyjne zawierające arytmetykę liczb naturalnych są:

(1) niezupełne,
(2) nierozstrzygalne oraz
(3) nie posiadają wewnętrznych („absolutnych”) dowodów niesprzeczności.

Niezupełność takiego systemu polega na istnieniu zdań, które chociaż są sensowne, nie mogą być ani udowodnione, ani obalone. Co oznacza, że nie ma algorytmu, który pozwalałby dla każdego zdania sprawdzić w skończonej liczbie kroków czy jest ono twierdzeniem, czy nie.

Znaczyło to w szczególności, że w aparacie pojęciowym każdego takiego systemu (matematycznego lub logicznego) można sformułować takie twierdzenia intuicyjnie prawdziwe, które nie wynikają z aksjomatów tego systemu. A zatem nie są na jego podstawie dowodliwe, a których jednocześnie nie można obalić, gdyż nie są z nim sprzeczne.

Z kolei niemożność przeprowadzenia wewnętrznego dowodu niesprzeczności systemu polega na tym, że aby wykazać niesprzeczność tego systemu trzeba się odwołać do innego systemu, który również nie posiada wewnętrznego dowodu niesprzeczności.

W ten sposób okazało się, że słynny program Hilberta – program pełnej aksjomatyzacji i formalizacji całej matematyki – nie daje się zrealizować. Zgodnie z tym programem aksjomatyzacja i formalizacja matematyki oraz poszczególnych jej działów miała polegać na tym, że dla każdego systemu dedukcyjnego podaje się:

• po pierwsze, pełny zestaw aksjomatów, czyli twierdzeń pierwotnych systemu oraz
• po drugie, pełny zestaw reguł dedukcji, na mocy których wszystkie twierdzenia pochodne (tezy) systemu można niezawodnie wyprowadzić z aksjomatów (oraz definicji).

Ignorabimus

Z odkryć Gödla wynikało, że żaden dostatecznie pojemny system formalny nie jest wystarczająco mocny, by można było na jego podstawie dowieść lub obalić każde twierdzenie dające się w jego języku sformułować. Gödel wykazał, mówiąc językiem Hilberta, że w matematyce zawsze jest miejsce na ignorabimus, czyli na to, co niepoznawalne. Można bowiem wprawdzie zawsze zbudować mocniejszy system, który rozstrzygnie twierdzenia nierozstrzygalne na płaszczyźnie poprzedniego systemu. Jednakże, z kolei w jego języku, można zbudować nowe twierdzenia, nierozstrzygalne za pomocą jego środków.

Ilustracje

David Hilbert – źródło: Wikimedia Commons
Kurt Gödel –  źródło: Wikimedia Commons 

Zob. też inne wpisy w kategorii: Matematyka